Circonferenza e cerchio

Presentazione dell’unità

Questa unità introduce la circonferenza e il cerchio. Vengono definiti il centro, il raggio, la corda e il diametro.

La formula della lunghezza della circonferenza non viene presentata come una regola arbitraria, ma viene ricavata osservando che il rapporto tra la lunghezza di qualsiasi circonferenza e il suo diametro è costante. Questa costante è il pi greco. La lezione permette anche di distinguere le lettere che rappresentano quantità variabili da quelle utilizzate per indicare costanti.

Dalla relazione tra circonferenza, diametro e pi greco vengono ricavate la formula diretta e le formule inverse. Gli esercizi richiedono di calcolare circonferenza, raggio o diametro, mantenendo prima il risultato esatto con π e calcolandone poi un’approssimazione decimale.

La seconda lezione introduce il cerchio e dimostra la formula della sua area. Anche in questo caso vengono affrontate la formula diretta e quelle inverse. I problemi collegano area, raggio e circonferenza: a volte si parte dalla circonferenza per trovare l’area, altre volte dall’area per ricavare il raggio e la lunghezza della circonferenza. Vengono quindi riprese anche le radici quadrate e la distinzione tra risultato esatto e approssimato.

Le ultime due lezioni utilizzano le proporzioni per studiare parti della circonferenza e del cerchio. Per l’arco si parte dall’idea che l’ampiezza dell’angolo al centro e la lunghezza dell’arco sotteso siano direttamente proporzionali. Gli esercizi richiedono di ricavare, a seconda dei dati disponibili, la lunghezza dell’arco, l’ampiezza dell’angolo al centro, il raggio oppure il diametro.

Lo stesso ragionamento viene esteso al settore circolare. L’area del settore è direttamente proporzionale all’ampiezza dell’angolo al centro e alla lunghezza dell’arco sotteso dallo stesso angolo. I problemi collegano quindi angolo, arco, circonferenza, area del cerchio e area del settore. L’alunno deve individuare quali grandezze rappresentano l’intero e quali la parte corrispondente, per poi costruire e risolvere la proporzione corretta.

L’obiettivo dell’unità non è soltanto ricordare formule differenti, ma comprendere la struttura comune che le collega: alla circonferenza completa, al cerchio completo e all’angolo giro corrispondono rispettivamente un arco, un settore e il relativo angolo al centro. L’unità riprende così formule inverse, radici, proporzioni, risultati esatti e approssimazioni.

Aspetti centrali

• Differenza tra circonferenza e cerchio
• Centro, raggio, corda e diametro
• Rapporto costante tra circonferenza e diametro
• Significato della costante π
• Quantità variabili e quantità costanti
• Formula diretta e formule inverse della circonferenza
• Dimostrazione, formula diretta e formule inverse dell’area del cerchio
• Risultati esatti con π e approssimazioni decimali
• Arco, angolo al centro e proporzionalità diretta
• Settore circolare e proporzioni con angolo e arco
• Problemi per ricavare circonferenza, area, raggio, diametro, arco, angolo e settore