Rapporti

Presentazione dell’unità

Questa unità introduce il rapporto come strumento per confrontare e mettere in relazione due quantità. Gli alunni imparano a calcolare un rapporto, a esprimerlo mediante una frazione e a utilizzarlo per confrontare situazioni con quantità totali diverse. Il percorso prosegue con i rapporti equivalenti, il fattore di scala, il rapporto come relazione tra quantità, i rapporti tra grandezze non omogenee e i problemi di somma e rapporto o di differenza e rapporto.

Nella prima lezione vengono introdotti la definizione di rapporto e i termini antecedente e conseguente. Si affrontano inizialmente rapporti tra grandezze omogenee, come il confronto tra due lunghezze, due quantità di oggetti oppure una parte e il totale. Particolare attenzione viene dedicata all’ordine delle quantità, perché invertendo antecedente e conseguente cambia il significato del rapporto.

La seconda lezione riprende l’unità sulle frazioni. Ai tre significati già studiati — parte di un intero, quoziente e numero razionale — viene aggiunto quello di rapporto. La stessa scrittura frazionaria può infatti assumere significati differenti secondo la situazione: può rappresentare una parte del tutto, il risultato di una divisione, un numero oppure il confronto tra due quantità. Gli esercizi richiedono quindi non soltanto di scrivere e ridurre una frazione, ma anche di riconoscerne il significato.

La terza lezione mostra come utilizzare i rapporti per confrontare situazioni con quantità totali diverse. In questi casi il solo confronto dei valori assoluti non è sufficiente per stabilire in quale situazione una determinata parte sia più o meno rappresentata. Gli alunni calcolano il rapporto tra la parte considerata e il totale, lo esprimono come frazione e confrontano i risultati, riducendoli ai minimi termini e, quando necessario, trasformandoli in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore. Questo lavoro prepara il successivo studio delle percentuali e della frequenza relativa in statistica.

La quarta lezione introduce i rapporti equivalenti e il fattore di scala. Gli alunni comprendono che coppie di quantità differenti possono rappresentare lo stesso confronto e utilizzano tabelle per organizzare i dati, verificare l’equivalenza tra rapporti e calcolare valori mancanti. Il fattore di scala permette di passare da una coppia di valori a un’altra mantenendo invariato il rapporto. Questa lezione pone le basi del ragionamento proporzionale, che verrà approfondito nello studio delle grandezze direttamente proporzionali.

Nella quinta lezione il rapporto viene interpretato come relazione tra quantità, riprendendo l’unità didattica sulle relazioni svolta in prima media. Lo stesso confronto viene letto in entrambe le direzioni ed espresso mediante il rapporto diretto e quello inverso, le corrispondenti frazioni e le relazioni moltiplicative. Gli alunni imparano così a trasformare un rapporto in una relazione moltiplicativa e a utilizzarla per calcolare una quantità mancante.

Nella sesta lezione vengono affrontati i rapporti tra grandezze non omogenee. In questi casi il rapporto produce una nuova grandezza, come il costo unitario espresso in euro al chilogrammo, la velocità media o la densità. Gli alunni imparano a ricondurre il rapporto a una sola unità della grandezza presa come riferimento e a utilizzare il risultato per confrontare situazioni differenti, per esempio stabilendo quale prodotto sia più conveniente o quale mezzo abbia una velocità media maggiore.

L’ultima lezione collega le relazioni moltiplicative al precedente percorso sui problemi con i segmenti. Nei problemi di somma e rapporto o di differenza e rapporto, il rapporto permette di descrivere la relazione tra due quantità anche quando una non è un multiplo intero dell’altra. Vengono riprese le rappresentazioni grafiche già utilizzate e applicate a situazioni progressivamente più complesse, comprese quelle con più di due quantità.

Nel corso dell’unità il rapporto viene quindi studiato come risultato di un confronto, come scrittura frazionaria, come relazione moltiplicativa e come valore che rimane invariato tra coppie equivalenti. Il percorso riprende argomenti già affrontati, come le relazioni matematiche e i significati delle frazioni, e prepara lo studio delle proporzioni, delle grandezze direttamente proporzionali, delle percentuali e delle funzioni.

Aspetti centrali

• Definizione di rapporto
• Antecedente e conseguente
• Rapporti tra grandezze omogenee
• Importanza dell’ordine delle quantità
• Rapporto diretto e rapporto inverso
• Il rapporto come uno dei significati della frazione
• Confronto tra rapporti
• Rapporti equivalenti
• Tabelle dei rapporti
• Fattore di scala
• Relazioni moltiplicative tra quantità
• Rapporti tra grandezze non omogenee
• Costo unitario, velocità, resa, densità e consumo unitario
• Problemi 'somma e rapporto'
• Problemi 'differenza e rapporto'