In questa sezione trovate una raccolta di problemi matematici pensati con uno scopo diverso rispetto agli esercizi e ai problemi che accompagnano le singole lezioni del sito, nei quali l’obiettivo è soprattutto comprendere e consolidare un concetto oppure imparare a utilizzare una procedura.
L’idea nasce dalla volontà di dedicare, nel corso dell’anno scolastico, anche soltanto poche ore ad attività che favoriscano il ragionamento autonomo e il pensiero matematico.
I Problemi da esplorare sono quindi un’occasione per sviluppare creatività matematica: la capacità di immaginare una possibile strada, modificarla quando non funziona, collegare conoscenze diverse e costruire autonomamente un ragionamento.
In un problema da esplorare non viene indicato il metodo da seguire. È l’alunno che deve decidere come affrontare la situazione, quali strumenti utilizzare, quali tentativi compiere e come stabilire se la soluzione trovata sia corretta.
Non è quindi necessario che un problema utilizzi conoscenze appena spiegate o che venga proposto subito dopo una determinata lezione. Lo scopo è mettere gli alunni nella condizione di pensare senza sapere in anticipo quale procedimento ci si aspetta da loro.
Sapere se una soluzione funziona
Uno degli aspetti centrali nella scelta dei problemi è permettere agli alunni di capire autonomamente se una soluzione funziona.
Quando un alunno propone una risposta, vorrei evitare che il passaggio successivo fosse semplicemente guardare l’insegnante e chiedere: «È giusto?». Per quanto possibile, deve essere il problema stesso a fornire gli strumenti per rispondere a questa domanda.
Questo aspetto, che ha contribuito a dare forma alla raccolta, si richiama alla Teoria delle Situazioni Didattiche sviluppata da Guy Brousseau: la correttezza di una risposta non dovrebbe dipendere continuamente dalla conferma dell’insegnante.
Durante l’esplorazione cerco quindi di non assumere il ruolo di chi certifica progressivamente ogni passaggio come corretto o sbagliato. Se un alunno mi propone un ragionamento o una soluzione, non fornisco alcun suggerimento e cerco invece di riportare la domanda al problema:
«Come puoi sapere se funziona?»
Anche il confronto tra gli alunni serve a questo scopo. Una soluzione deve poter essere discussa e difesa attraverso argomentazioni, non perché abbia ricevuto il suggerimento o l’approvazione dell’insegnante.
Naturalmente esiste un limite. Se la classe arriva a condividere un ragionamento errato e gli strumenti disponibili non permettono agli alunni di accorgersene autonomamente, intervengo. Anche in questo caso, però, non suggerisco una strategia alternativa: cerco inizialmente soltanto di mostrare che qualcosa non può funzionare — per esempio attraverso una verifica o un controesempio — lasciando agli alunni il compito di cercare una nuova strada.
Tre caratteristiche dei problemi
I problemi inseriti nella raccolta sono stati scelti perché presentano tre caratteristiche che considero particolarmente importanti: Comprensione autonoma, Autoverifica e Strategie multiple.
Comprensione autonoma
I problemi sono scelti in modo che la consegna sia sufficientemente chiara da permettere agli alunni di comprendere che cosa viene richiesto e iniziare a lavorare senza che l’insegnante debba spiegare come affrontare la situazione.
Questo non significa che il problema debba essere facile, ma che la difficoltà dovrebbe riguardare il ragionamento necessario per risolverlo, non la comprensione di ciò che viene chiesto.
Autoverifica
I problemi sono scelti in modo che la loro struttura permetta, per quanto possibile, agli alunni di controllare autonomamente se una soluzione o una strategia funziona.
L’obiettivo è ridurre la necessità di ricorrere continuamente all’insegnante per sapere se ogni passaggio sia corretto e favorire invece la ricerca di verifiche, controlli, esempi e controesempi.
Strategie multiple
I problemi sono scelti in modo da lasciare spazio a modi realmente differenti di affrontarli.
Non sempre tutte le strategie saranno ugualmente efficienti o eleganti, ma il problema non dovrebbe suggerire fin dall’inizio un’unica procedura obbligata. Tentativi, rappresentazioni, calcoli, disegni, ragionamenti logici e strategie diverse possono così diventare oggetto di confronto e discussione.
Difficoltà di ragionamento
Nei problemi pubblicati non viene indicato un livello di difficoltà.
La scelta è intenzionale: vorrei evitare che un alunno si facesse condizionare da un’etichetta prima ancora di iniziare a ragionare. Sapere in anticipo che un problema è stato classificato come “facile” o “difficile” può modificare il modo in cui viene affrontato, le aspettative dell’alunno e perfino la sua disponibilità a tentare.
La difficoltà rimane quindi uno strumento utile per organizzare internamente la raccolta, ma non viene mostrata nella versione pubblica dei problemi.
Come leggere le indicazioni associate ai problemi
Le indicazioni associate a ciascun problema servono a orientarsi nella raccolta, ma non stabiliscono né la difficoltà del problema né il momento preciso in cui dovrebbe essere proposto.
La classe
L’indicazione della classe serve soprattutto a segnalare se, per comprendere il problema e poter iniziare a lavorare autonomamente, sono necessarie alcune conoscenze matematiche specifiche.
Non rappresenta quindi una valutazione della difficoltà del ragionamento richiesto e non significa che il problema debba essere proposto necessariamente in quella classe.
Un problema indicato per la prima media può essere proposto anche in seconda o in terza.
Il significato delle unità associate
Molti problemi riportano una o più unità associate del percorso di Matematica delle Medie. Questo collegamento non costituisce un’indicazione su quando il problema debba essere proposto.
L’associazione indica invece quali conoscenze, forme di ragionamento o abilità matematiche il problema può contribuire a sviluppare, utilizzare o richiamare.
Un problema associato a un’unità di prima media, quindi, non deve necessariamente essere affrontato durante quell’unità o immediatamente dopo. Può essere proposto prima oppure anche molto tempo dopo.
Questo permette di contrastare un meccanismo comune negli esercizi scolastici: l’alunno spesso sa già quale procedimento utilizzare perché sa quale argomento sta studiando.
Nei Problemi da esplorare vorrei che accadesse il contrario: prima viene il problema; le conoscenze matematiche devono essere riconosciute e scelte perché risultano utili per affrontarlo.
Geometria intuitiva
Il tag Geometria intuitiva identifica problemi che possono essere compresi e affrontati senza richiedere lo studio formale degli argomenti di geometria coinvolti.
L’alunno può lavorare attraverso disegni, costruzioni, confronti, tentativi e intuizioni visive, senza dover necessariamente conoscere definizioni, proprietà, formule o procedimenti già studiati.
Questi problemi possono quindi essere proposti anche prima dell’introduzione sistematica dei relativi contenuti geometrici.
L’obiettivo è lasciare che alcune idee geometriche possano nascere inizialmente dall’osservazione, dalla manipolazione e dal ragionamento, prima di essere successivamente organizzate e formalizzate.
★ Preferito
La dicitura ★ Preferito segnala alcuni problemi che trovo particolarmente interessanti da proporre in classe.
Non indica un livello di difficoltà maggiore né una diversa categoria di problemi: è semplicemente una mia selezione personale all’interno della raccolta.
La spunta ★ Preferito non è stata aggiunta ai problemi contrassegnati come Geometria intuitiva, perché considero tutti i problemi appartenenti a questa categoria tra i miei preferiti.
